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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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8.
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
d) $\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x$
d) $\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x$
Respuesta
Esta integral que tenemos que resolver ahora
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$\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x$
también sale por partes. Fijate que tiene la estructura de un polinomio multiplicando a una trigonométrica, y no hay ninguna sustitución que nos sirva. Entonces, recordemos como siempre la fórmula de partes:
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
y vamos a tomar:
$g = x^{2}+2 x \Rightarrow g' = 2x + 2$
$f' = \cos(x) \Rightarrow f = \int \cos(x) \, dx = \sin(x)$
Reemplazamos en la fórmula de partes:
$ \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - \int \sin(x) \cdot (2x + 2) \, dx $
Y ahora nos quedó ahí una integral que también sale por partes! Así que ahí vamos con partes una vez más...
Ahora tomamos:
$ g = 2x + 2 \Rightarrow g' = 2 $
$ f' = \sin(x) \Rightarrow f = -\cos(x) $
Entonces nos queda:
$ \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) - \int -\cos(x) \cdot 2 \, dx] $
$ \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) + 2 \int \cos(x) \, dx] $
$ \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) + 2 \sin(x) + C] $
Si querés ahí podrías hacer algunas distributivas, pero al menos para este ejercicio no es necesario y dejando el resultado así ya está bien :)
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