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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
d) ∫(x2+2x)cos⁡(x)dx\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x

Respuesta

Esta integral que tenemos que resolver ahora

∫(x2+2x)cos⁡(x)dx\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x

también sale por partes. Fijate que tiene la estructura de un polinomio multiplicando a una trigonométrica, y no hay ninguna sustitución que nos sirva. Entonces, recordemos como siempre la fórmula de partes:

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'

y vamos a tomar:

g= x2+2x⇒g′=2x+2g = x^{2}+2 x \Rightarrow g' = 2x + 2

f′=cos⁡(x)⇒f= ∫ cos⁡(x) dx=sin⁡(x)f' = \cos(x) \Rightarrow f =  \int \cos(x) \, dx = \sin(x)

Reemplazamos en la fórmula de partes: ∫(x2+2x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)⋅(x2+2x)−∫sin⁡(x)⋅(2x+2) dx \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - \int \sin(x) \cdot (2x + 2) \, dx

Y ahora nos quedó ahí una integral que también sale por partes! Así que ahí vamos con partes una vez más...

Ahora tomamos:
g=2x+2⇒g′=2 g = 2x + 2 \Rightarrow g' = 2
f′=sin⁡(x)⇒f=−cos⁡(x) f' = \sin(x) \Rightarrow f = -\cos(x) Entonces nos queda:

∫(x2+2x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)⋅(x2+2x)−[−cos⁡(x)⋅(2x+2)−∫−cos⁡(x)⋅2 dx] \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) - \int -\cos(x) \cdot 2 \, dx]

∫(x2+2x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)⋅(x2+2x)−[−cos⁡(x)⋅(2x+2)+2∫cos⁡(x) dx] \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) + 2 \int \cos(x) \, dx]

∫(x2+2x)cos⁡(x) dx=sin⁡(x)⋅(x2+2x)−[−cos⁡(x)⋅(2x+2)+2sin⁡(x)+C] \int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = \sin(x) \cdot (x^2 + 2x) - [-\cos(x) \cdot (2x + 2) + 2 \sin(x) + C]

Si querés ahí podrías hacer algunas distributivas, pero al menos para este ejercicio no es necesario y dejando el resultado así ya está bien :)
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